n = 50; p = 0,2

B_50;0,2 (X=10)

B_50;0,2 (X≤10)

DISTR 0:binompdf(50,.2,10)

DISTR A:binomcdf(50,.2,10)

n = 50; p = 0,2

B_50;0,2 (X>10)

B_50;0,2 (X<10)

1 - DISTR A:binomcdf(50,.2,10)

DISTR A:binomcdf(50,.2,9)

n = 50; p = 0,2

B_50;0,2 (10≤X≤20)

DISTR A:binomcdf(50,.2,20)
- DISTR A:binomcdf(50,.2,9)

n = 5; p = 0,2

Tabelle

MEM 4:ClrAllLists

STAT 1:Edit

L1
LIST OPS 5:seq( X, X, 0, 5 )

L2
DISTR 0:binompdf( 5 , .2)

L3
DISTR A:binomcdf( 5, .2 )

anschließend Quit

n = 5; p = 0,2

Tabelle in Kurzform

Blättern mit Pfeiltasten und

n = 5; p = 0,2

Plot

k in L1, P(X=k) in L2

STATPLOT 1:Plot
On L1 L2

GRAPH

ZOOM 9:ZoomStat

n = 30, p = 0,4
brauchbare Werte, da n ≥ $\frac{\text{1}}{\text{4p²(1-p)²}}$
vereinfachte Formel nicht anwendbar,
da σ = $\sqrt{np(1-p)}$ ≤ 3

n = 30, p = 0,4

P(k₁≤X≤k₂)≈ Φ$(\frac{\text{k₂}+\text{0,5}-\text{μ}}{\text{σ}})$ - Φ$(\frac{\text{k₁}-\text{0,5}-\text{μ}}{\text{σ}})$

P(20≤X≤25)

30 * .4 STO E

√( 30 * .4 * .6 STO S

nach Formel

DIST 2:normalcdf( (19.5-E)/S , (25.5-E)/S )

einfacher

DIST 2:normalcdf( 19.5 , 25.5 , E , S )

n = 500, p = 0,7
brauchbar, da n ≥ $\frac{\text{1}}{\text{4p²(1-p)²}}$
vereinfachte Formel anwendbar, da
σ = $\sqrt{np(1-p)}$ > 3

n=500 und p=0,7

P(k₁≤X≤k₂) ≈ Φ$(\frac{\text{k₂}-\text{μ}}{\text{σ}})$ - Φ$(\frac{\text{k₁}-\text{μ}}{\text{σ}})$

P(360≤X≤400)

500 * .7 STO E

√( 500 * .7 * .3 STO S

nach Formel

DIST 2:normalcdf( (360-E)/S , (400-E)/S )

einfacher

DIST 2:normalcdf( 360 , 400 , E , S )

n=500 und p=0,7

P(X ≤ 360)

nach Formel

DIST 2:normalcdf( (0-E)/S , (360-E)/S )

einfacher

DIST 2:normalcdf( 10 ^ -99 , 360 , E , S )

Hinweis: 9^-99 ≈ -∞

n=500 und p=0,7

P(360 ≤ X)

nach Formel

DIST 2:normalcdf( (360-E)/S , (9^99-E)/S )

einfacher

DIST 2:normalcdf( 360 , e ^ 99 , E , S )

Hinweis: 9⁹⁹ ≈ ∞

Anzahl N = 50
Anzahl „günstiger“ M = 10
Anzahl gezogener n = 5
P(X=2) = $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{3})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})}$

Für die Berechnung mehrerer Werte und deren Summierung lohnt die Erstellung einer Funktion.
P(X=k) = $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{M}}{\mathrm{k}})(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{N-M}}{\mathrm{n-k}})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{N}}{\mathrm{n}})}$ = $\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{\mathrm{k}})(\genfrac{}{}{0ex}{}{40}{\mathrm{5-k}})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})}$

Für die Berechnung mehrerer Werte und deren Summierung lohnt die Erstellung einer Tabelle.

N = 50, M = 10, n = 5

$\sum _{\mathrm{k=2}}^4$ P(X=k) ≈ 0,2580

LIST OPS 5:seq( X , X, 0 , 5 )

( 10 MATH PRB 3:nCr L1 ) ( 50 MATH PRB 3:nCr ( 5 − L1 )) / ( 50 MATH PRB 3:nCr 5)

oder mit der definierten Funktion

VARS Y-VARS 1:Function 1:Y1( L1 )

LIST MATH 5:sum( L2, 2 ,4 )

ZOOM 9:ZoomStat

P(X≤3) = ${\displaystyle \sum _{\mathrm{i=0}}^3}$ P(X=i)

Achtung: Die Zahlen stehen in der Liste L2 auf den Plätzen 1 bis 4.

LIST MATH sum( L2, 1 , 4 )

Vergleich mit Binomialverteilung

N=50, M=30, n=20

B _{20; 0.6} unter Plot2

Die Varianz der hypergeometrischen Verteilung ist kleiner als die Varianz der Binomialverteilung.

Erklärung 1: Wenn wenige Treffer vorliegen, steigt dadurch die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer beim nächsten Wurf (und umgekehrt).

Erklärung 2: Je mehr Kugeln ohne Zurücklegen gezogen werden, desto genauere Informationen liegen über die restlichen noch in der Urne enthaltenen Kugeln vor. Die Streuung der Zufallsvariablen X verringert sich dadurch.
Wenn dagegen mit Zurücklegen gezogen wird, bleibt die Zusammensetzung der Urne unverändert, und die Streuung der Zufallsvariablen X bleibt gleich.

N=500, M=300, n=30

Für n ≤ $\frac{\text{N}}{\text{10}}$ kann die hypergeometrische Verteilung durch eine Binomialverteilung mit p = $\frac{\text{M}}{\text{N}}$ angenähert werden.

Erklärung: Wenige Ziehungen oder Ziehungen aus einer großen Grundgesamtheit verändern das "Mischverhältnis" wenig.

N = 100, M = 20, n = 5, k Treffer

5 ≤ $\frac{\text{100}}{\text{10}}$ , also z.B. P(X=2)≈B_5;0,2 (X=2)

n = 600, p = 0,005 < 0,1

μ = n·h = 3 < 6

P(X=2) = $\frac{\text{3²}}{\text{2!}}\text{e³}$ ≈ 0,61

nach Formel ...

mit Funktion ...

N = 600, p = 0,005

$\sum _{\mathrm{k=2}}^5$ P(X=2) ≈ 0,72

p = 0,2

P(X=4)

genau 4 Versuche bis zum Treffer;
also 3 Misserfolge, dann ein Treffer: 0.8⁴∙0,2

mit Funktion ...

nach Formel ...

p = 0,2

P(X≤4)

höchstens 4 Versuche bis zum Treffer;
am Anfang nicht 4 Misserfolge: 1−0.8⁴

p = 0,2

P(X>4) = 1−P(X≤4)

mehr als 4 Versuche bis zum Treffer;
am Anfang also 4 Misserfolge: (1-p)⁴

μ = 354 und σ = 10,28

P(360≤X≤400)

P(X ≤ 360)

P(360 ≤ X)

n=500 und p=0,7

P(X ≤ 360)

P(360 ≤ X)

μ = 35.4 und σ = 3,76

P(X=40)

P(30≤X≤40)