Beziehungen zwischen geometrischen Objekten
- package("geo"): export(geo):
Das klärt die Prozedur schnitt.
- schnitt(punkt(1,1,3),punkt(1,1,3)),
schnitt(punkt(1,1,3),gerade(vektor(4,1,6),vektor(1,0,1))),
schnitt(punkt(1,1,3),ebene(vektor(4,1,6),vektor(1,0,1),vektor(0,2,1))),
schnitt(gerade(vektor(3,1,5),vektor(0,0,1)),gerade([3,1,3],[3,1,7])),
schnitt(gerade(vektor(3,1,5),vektor(0,0,1)),ebene(y+x=4)),
schnitt(ebene(x+y=4),ebene([4,0,0],[0,4,0],[0,4,4]))
In den diesen Beispielen ist das erste Objekt vollständig im zweiten enthalten, was an der Parameteranzahl
des Ergebnisses zu erkennen ist.
- parameteranzahl(gerade(vektor(3,1,5),vektor(0,0,1))),
parameteranzahl(ebene(y+x=4)),
parameteranzahl(schnitt(gerade(vektor(3,1,5),vektor(0,0,1)),ebene(y+x=4)))
Jetzt ist das erste Objekt nur teilweise im zweiten enthalten, weil die Parameterzahl im Ergebnis kleiner ist.
- schnitt(gerade(vektor(3,1,5),vektor(0,0,1)),gerade([0,1,3],[3,1,7])),
schnitt(gerade(vektor(3,1,5),vektor(0,1,0)),ebene(y+x=4)),
schnitt(ebene(x+y=4),ebene([4,0,0],[0,2,0],[0,2,2]))
Und in den folgenden Fällen ist der Schnitt leer.
- schnitt(punkt(1,1,3),punkt(1,2,3)),
schnitt(punkt(1,1,3),gerade(vektor(4,3,6),vektor(1,0,1))),
schnitt(punkt(1,1,3),ebene(vektor(4,3,6),vektor(1,0,1),vektor(0,2,1))),
schnitt(gerade(vektor(3,1,5),vektor(0,0,1)),gerade([0,1,3],[0,1,7])),
schnitt(gerade(vektor(0,1,3),vektor(0,0,1)),ebene(y+x=4)),
schnitt(ebene(x+y=4),ebene([2,0,0],[0,2,0],[0,2,2]))
Das Ergebnis wird nicht in Mengenschreibweise angegeben, damit es wieder vom Typ "Matrix" ist und direkt
weiterverarbeitet oder (wie noch gezeigt wird) gezeichnet werden kann.
- schnitt(schnitt(ebene(x+y=4),ebene([2,0,0],[0,2,0],[0,2,2])),punkt(3,4,5))
Beim Gleichsetzen der Vektoren zweier Vektoren ist darauf zu achten, dass ihre Parameter unterschiedlich
benannt sind. Die Prozedur schnitt nimmt diese Umbenennung automatisch vor, es sein denn das wird durch die
Option HOLD ausdrücklich verhindert.
- schnitt(gerade(1+r,2,3*r),gerade(2*r,2,1+2*r)),
schnitt(gerade(1+r,2,3*r),gerade(2*r,2,1+2*r),HOLD)
Sind zwei Geraden identisch, parallel, geschnitten, windschief?
Weitere Prozeduren sind möglich, die klären,
- ob zwei Vektoren kollinear sind,
- ob drei Vektoren komplanar sind,
- ob zwei Geraden parallel sind,
- ob zwei Geraden windschief sind usw.
Diese Fragen sind nun aber durch "Einzeiler" zu lösen, etwa:
- bool(solve(vektor(1,2,3)=k*vektor(2,4,6))<>{})
Oder: Sind zwei gegebene Geraden identisch?
Es ist zu prüfen, ob das Schnittgebilde eine Gerade ist (was daran zu erkennen ist, dass ein Parameter vorkommt).
- bool(parameteranzahl(
schnitt(
gerade([4,1,2],[4,-1,0]),
gerade(4,r,r+1)
)
)>0
)
